Trilha de estudo
O app segue a ordem de um curso de eletrostática: ferramentas, lei de Gauss, superposição, condutores e interfaces, e capacitores. Cada módulo tem um código fixo (M0 a M19) porque os textos se referem uns aos outros por ele. Os módulos marcados como complementares não estão nas notas de aula: foram incluídos para completar o quadro, e o app diz de onde vieram.
Como usar
M0. Sistemas de coordenadas
Escolha o sistema, mova o ponto P pelos sliders e arraste o desenho para girar. Toque numa face da caixinha, nos versores ou numa fórmula: o desenho e a fórmula acendem juntos. Cilíndrico usa (r, θ, z); esférico usa (r, φ, θ) com φ polar a partir de z.
M1. Operadores
Fase A: os operadores montados a partir da caixinha do dl, direção por direção, face por face e contorno por contorno. É de onde sai o 1/(r sen φ) do gradiente e o r² sen φ do divergente. Fase B, mais abaixo: a tabela de referência, com as fórmulas do livro (p. 38 e 39, Eqs. 1.29 a 1.35), na convenção φ polar e θ azimutal.
Fase A: montar os operadores a partir do dl
Fase B: tabela de referência consulta
Os termos que morrem por simetria não são tratados aqui: isso acontece dentro das sequências passo a passo, como no M2, com a justificativa de cada passo.
Gradiente
Vetor que aponta na direção de maior crescimento de U. Na eletrostática, E = −grad V.
Divergente
Fluxo por unidade de volume. div D = ρ é a forma local da lei de Gauss.
Rotacional
Nestas notas, de eletrostática, rot E = 0 em todo ponto. É a condição que garante a existência do potencial V, com E = −grad V, e equivale a dizer que a integral de linha de E em qualquer caminho fechado é nula. Esse é o único uso do rotacional aqui.
M2. Esfera carregada no vácuo
Esfera de raio R em três versões: isolante com ρ uniforme no volume (o caso das notas), condutora maciça e casca fina. Superfície de Gauss esférica de raio r, que você arrasta para dentro e para fora da esfera. A simetria e o lado esquerdo da lei de Gauss são os mesmos nas três; o que muda é onde a carga está, e portanto a carga envolvida. Arraste o desenho para girar.
Gráfico de E(r): a quebra em r = R
Gráfico de V(r): contínuo em r = R, sem bico
V não tem quebra em R porque E, que é a derivada de V, é contínuo ali. O bico fica no gráfico de E, não no de V.
1. Argumento de simetria
2. Lei de Gauss na superfície esférica
O lado esquerdo não depende de onde está r. O que muda ao atravessar R é só a carga envolvida, no lado direito.
3. Carga envolvida
4. Potencial pela integral de linha
Fora da esfera (r ≥ R): o caminho do infinito até r só atravessa a região onde E = Q/(4π ε0 r²).
M3. Superposição e distribuição contínua
Uma distribuição de carga é picada em elementos dq. Cada elemento, na posição ri, cria um dE no ponto de observação r. O campo total é a soma de todos, e quando os elementos ficam infinitesimais a soma vira integral. Mova P, percorra os elementos e ligue a soma.
1. Campo de uma carga pontual
Livro, p.83, Eqs. (3.2) e (3.3). O vetor r sai da carga e chega ao ponto de observação. Aqui a carga está em ri, então o vetor que entra é r − ri.
2. O elemento de carga
3. Soma virando integral
A integral é sobre as posições ri da fonte. O ponto r é fixo durante a integração. Os três vetores do desenho são exatamente os três que aparecem no integrando.
M4. Condutor em eletrostática
Um condutor esférico é colocado num campo externo uniforme E0. O slider avança a migração das cargas livres do início até o equilíbrio. Acompanhe o campo interno indo a zero, a carga se acumulando na superfície e as linhas de campo chegando perpendiculares.
O que acontece, em cinco passos
Resumo das propriedades
A última relação usa n̂ apontando para fora do condutor. A ordem dos índices no salto de D é o ponto que ainda está em aberto nas suas notas, tratado no M5.
M5. Condições na interface entre materiais
Duas construções na fronteira entre os meios 1 e 2: uma espira retangular de lado l e altura δ, e um pillbox cilíndrico de área A e altura δ. O slider leva δ a zero e cada trecho da integral morre na tela. O n̂ é orientável, e é a orientação dele que define a ordem dos índices na conclusão. Dedução conforme o livro, p.91 a 93, Eqs. (3.15) a (3.18).
Conferência numérica (unidades relativas, E1 = 1)
Sobre a ordem dos índices
O livro mede as componentes normais no sentido do meio 1 para o meio 2 (Fig. 3.9, p.92) e conclui D2n − D1n = ρs, Eq. (3.17). Se n̂ for tomado do meio 2 para o meio 1, todas as componentes normais trocam de sinal e a mesma física fica escrita como D1n − D2n = ρs. As duas formas são a mesma equação: o que muda é só a convenção de n̂. Nas suas notas, a dedução e a linha de conclusão têm ordens diferentes, então uma das duas está com o n̂ trocado. Use o seletor acima para ver as duas.
M6. Refração das linhas de campo entre dielétricos
Linhas de campo cruzando a interface entre dois dielétricos, sem carga livre na interface. Os ângulos θ1 e θ2 são medidos a partir da normal. Mexa em ε1, ε2 e no ângulo.
1. Condições na interface (do M5)
Sem carga livre na interface, Dn é contínuo. Como D = εE, a componente normal de E dá um salto e a tangencial não.
2. Ângulos a partir das componentes
3. Caso limite
M7. Capacitor e capacitância
Capacitor de placas paralelas visto de lado: placa 1 à esquerda, placa 2 à direita, dielétrico ε entre elas. Cinco passos levam do campo de uma placa infinita até C = εS/d. Conforme o livro, p.101 a 105, com a notação U para a tensão, que o livro chama de V.
Passo a passo
Sobre o sinal entre Q1 e Q2
O livro (p.102, logo após a Fig. 3.17) diz que aparece "+Q" numa placa e "−Q correspondente" na outra, ou seja, Q1 = −Q2. É o que a gaussiana do passo 3 dá: como o campo fora do capacitor é nulo, o fluxo total é zero e a carga envolvida, Q1 + Q2, tem de ser zero. Nas suas notas o quadro destacado traz Q1 = Q2; se for em módulo, é a mesma coisa. O app segue o livro.
M8. Cilindro infinito carregado complementar, fora das notas
Cilindro infinito ao longo de z, de raio R, em três versões, mais o fio como limite R → 0. Superfície de Gauss cilíndrica coaxial, de raio r e altura L. A novidade em relação à esfera: a superfície tem três partes, e as duas tampas dão fluxo zero. Arraste o desenho para girar.
Gráfico de E(r)
Gráfico de V(r) − V(R)
1. Argumento de simetria
2. Lei de Gauss no cilindro coaxial: três partes
3. Carga envolvida
4. Potencial pela integral de linha
M9. Cabo coaxial complementar, fora das notas
Condutor interno de raio a com carga λ por comprimento, blindagem condutora de raio interno b e externo c com carga −λ, dielétrico de permissividade ε = εr ε0 entre eles. A gaussiana coaxial de raio r atravessa quatro regiões. É o M8 com dois condutores, e amarra com o M4 (E = 0 dentro de condutor), o M5 (a carga induzida vem do pillbox) e o M7 (capacitância).
Gráfico de E(r): só existe campo no dielétrico
Gráfico de V(r), com V(b) = 0 na blindagem
V é constante em cada condutor (equipotenciais, M4) e cai como logaritmo no dielétrico. A diferença entre os dois patamares é a tensão U do cabo.
1. Quatro regiões, uma simetria
Mesma simetria do M8: nada depende de z nem de θ, só sobra Er(r). A gaussiana é o cilindro coaxial de raio r e altura L, com as tampas dando fluxo zero. O que muda de região para região é só a carga envolvida.
2. Gaussiana na região atual
3. Cargas induzidas na blindagem
Dentro do metal da blindagem E = 0 (M4). Uma gaussiana que passe por dentro do metal tem de envolver carga total zero, então a face interna da blindagem carrega −λ por comprimento. Como a blindagem toda carrega −λ (é o retorno do cabo), a face externa fica sem carga, e fora do cabo E = 0: é a blindagem funcionando.
4. Tensão e capacitância por comprimento
Como no M7, C = Q/U não depende de Q nem de U: só do dielétrico e da geometria, aqui a razão b/a. Dobrar b/a não dobra a capacitância, porque a razão entra num logaritmo.
M10. Cubo com carga uniforme: por que Gauss não resolve complementar, fora das notas
Contra-exemplo. Um cubo de lado a = 1 m com ρ uniforme. A lei de Gauss continua valendo: o fluxo total por qualquer superfície fechada é Qenv/ε0. Mas não existe superfície em que E seja constante e paralelo a n̂, então E não sai da integral e a lei não entrega E. O campo aqui é calculado por superposição numérica, a mecânica do M3.
E ao longo do eixo x: cubo (numérico) e esfera de mesma carga
Linha cheia: cubo, por superposição numérica. Tracejada: esfera com a mesma carga Q e o mesmo volume, R = a (3/4π)1/3 ≈ 0,62 m, pelo M2. Longe, as duas coincidem: toda distribuição finita vira carga pontual vista de longe. Perto, a forma importa.
1. O que a esfera tem e o cubo não
Na esfera, girar de qualquer ângulo em torno do centro leva a fonte nela mesma, e isso obriga E a ser radial e constante sobre qualquer esfera concêntrica. No cubo só giros de 90° preservam a fonte. Isso garante pouco: sobre uma face, E muda de módulo de ponto a ponto e não é perpendicular à face, exceto no centro dela.
2. Fluxo face a face (numérico)
3. Tentando isolar E na face +x
Para tirar E da integral seria preciso E·n̂ constante sobre a face. Os números mostram que não é: a componente normal varia do centro para os cantos e há componentes tangenciais. A integral de superfície continua calculável (o cartão 2 fez isso numericamente), mas ela dá um número, não uma fórmula para E em cada ponto.
4. Como resolver de verdade
Superposição (M3) sobre o volume do cubo. Não há forma fechada simples; o gráfico foi feito somando 512 elementos de carga. A moral: a lei de Gauss é sempre verdadeira, mas só é útil para achar E quando a simetria da fonte permite escolher uma superfície com E constante e normal. Esfera, cilindro infinito e chapa infinita têm isso; o cubo não.
M11. Disco, coroa, disco com espessura, chapa e placa complementar, fora das notas
Distribuições planas. Só a chapa infinita e a placa condutora têm simetria para Gauss (pillbox do M7). As outras saem por superposição, a mecânica do M3, e têm fórmula fechada só no eixo. O ponto P anda no eixo z; fora do eixo há um mapa numérico, marcado como numérico. As setas em P mostram o dE de um elemento e do seu par oposto, e por que só a componente z sobrevive.
Gráfico de Ez(z) no eixo
1. Elemento de carga e geometria
2. Integral
3. Limites e conferência
4. Gauss resolve?
M12. Segmento e anel complementar, fora das notas
Distribuições lineares com ρl por superposição. O segmento finito é o caso geral do fio infinito do M8, e a integral fecha com a substituição pelo ângulo. O anel é o tijolo do disco do M11. Nos dois, as setas em P mostram o dE de um elemento e por que uma componente se cancela.
1. Elemento de carga e geometria
2. Integral
3. Limites e conferência
4. Amarrações
M13. Comparativo de simetrias
As três simetrias que a lei de Gauss resolve, lado a lado: esférica (1/r²), cilíndrica (1/r) e plana (constante). A diferença de decaimento vem da área da gaussiana, e o r significa uma coisa diferente em cada caso. No fim, as fontes finitas vistas de longe: todas viram carga pontual.
Decaimento do campo fora da fonte, normalizado em r0 = 1 m
Vermelho: esfera, (r0/r)². Azul tracejado: cilindro infinito, r0/r. Cinza tracejado: chapa infinita, constante. As três curvas passam por 1 em r = r0 por construção; o que se compara é a forma da queda.
Fontes finitas vistas de longe: E · 4π ε0 r² / Q
Razão entre o campo real e o campo de uma carga pontual com a mesma Q, a uma distância r do centro. Vermelho: disco fino (R = 1 m, no eixo). Azul: segmento (L = 1 m, na mediatriz). Roxo: cubo (a = 1 m, no eixo, numérico). Cinza: esfera, que já é exatamente 1 fora de R. Longe, todas vão a 1: a forma da fonte deixa de importar.
1. A diferença vem da área da gaussiana
| simetria | fonte | gaussiana | área que recebe fluxo | Qenv fora | E fora |
|---|---|---|---|---|---|
| esférica | esfera, casca, ponto (M2, M14) | esfera de raio r | 4π r² | Q, fixa | Q / (4π ε0 r²) ∝ 1/r² |
| cilíndrica | cilindro infinito, fio, coaxial (M8, M9) | cilindro coaxial, raio r, altura L | 2π r L (tampas dão zero) | λ L, fixa | λ / (2π ε0 r) ∝ 1/r |
| plana | chapa infinita, placa (M7, M11) | pillbox de área A | 2A (lateral dá zero) | ρs A, fixa | ρs / (2ε0), constante |
Nos três, Qenv não muda quando a gaussiana cresce, porque a fonte inteira já está dentro. O que cresce é a área: com r², com r, ou nada. O campo é Qenv dividido por ε0 e pela área, e herda o inverso desse crescimento.
2. O r significa coisas diferentes
Confundir os dois r é um erro comum: um ponto a 1 m do centro de uma esfera e um ponto a 1 m do eixo de um cilindro não estão "na mesma situação", porque a gaussiana natural de cada um tem outra área.
3. Como escolher a superfície (ou desistir dela)
M14. Casca condutora com carga no centro e capacitor esférico complementar, fora das notas
O par esférico do cabo coaxial. Uma casca condutora em três situações: neutra e isolada com uma carga pontual Q no centro (livro, Fig. 3.13, p.96 e 97), aterrada, e como capacitor esférico. Nas duas primeiras a casca vai de a a b. No capacitor, a é o raio do condutor interno e a casca vai de b a c. A gaussiana esférica de raio r atravessa as regiões e as cargas induzidas saem de E = 0 no metal.
Gráfico de E(r)
Gráfico de V(r)
1. Regiões e simetria
Mesma simetria da esfera do M2: E = Er(r) r̂ e a gaussiana esférica dá 4πr² Dr = Qenv. Só a carga envolvida muda de região para região.
2. Gaussiana na região atual
3. Cargas induzidas nas superfícies
4. Potencial
M15. Equações de Maxwell, continuidade e corrente de deslocamento complementar, capítulo 2 do livro
As quatro equações na forma local e na forma integral, e a leitura geométrica de cada uma:
- para uma equação com rotacional, escolhe-se uma linha fechada L(S) e uma superfície S apoiada nela;
- para uma equação com divergente, um volume V e a superfície fechada S(V) que o envolve.
Cada cena abaixo é uma figura do capítulo 2 do livro, com os números calculados. Os cartões da direita trazem a continuidade, a aproximação quase-estática, o comparador entre corrente de condução e de deslocamento e os potenciais.
1. As quatro equações e as relações constitutivas
Forma local (livro, seção 2.2.2, Eqs. 2.1 a 2.4) e relações de passagem (Eqs. 2.14 a 2.16). A forma integral sai da local pelos teoremas de Stokes (rotacionais) e da divergência (divergentes), seção 2.2.3:
O lado esquerdo de cada equação integral é sempre uma circulação (linha fechada) ou um fluxo (superfície fechada). A conta só fica fácil quando se escolhe L(S) ou S(V) com a simetria da fonte: é o que cada cena mostra.
2. A equação nesta cena
3. Continuidade elétrica e lei de Kirchhoff
A continuidade não é uma quinta equação: está contida na primeira (livro, p. 50). Em regime estático a carga não se acumula, o fluxo de J por qualquer superfície fechada é zero, e num nó de circuito isso vira a soma das correntes igual a zero (exercício 2.20). No condutor, juntando J = σE com E = −grad V, sobra uma equação de Laplace para V (Eq. 2.27), que é o caminho do exercício 2.13.
4. Quase-estática: quando ∂D/∂t some
Seção 2.3 do livro (p. 60 a 66). As três desigualdades definem o domínio da Eletrotécnica:
- o comprimento de onda é muito maior que o dispositivo;
- nada se move perto da velocidade da luz;
- a energia magnética domina a elétrica.
Daí ∂D/∂t some da primeira equação e os dois grupos se separam: magnetismo (rot H = J, div B = 0, rot E = −∂B/∂t) e eletrostática (div D = ρ).
Primeira linha: o exemplo do livro (p. 65), campo de 10⁷ V/m a 10⁵ Hz no ar, contra 1 A/mm² usual em dispositivos. Segunda linha: exercício 2.14, placas a 10 m com 2,5 × 10⁵ V a 100 kHz e um condutor de 1 mm² com 1 A. Nos dois, a corrente de deslocamento é desprezível diante da condução, e rot H = J basta.
5. Comparador: condução contra deslocamento (exercícios 2.2, 2.8, 2.9)
Para E = E₀ cos ωt: J = σE₀ cos ωt e ∂D/∂t = −ε ω E₀ sen ωt. As amplitudes valem σE₀ e εωE₀; a razão σ/(ωε) não depende de E₀. A frequência em que as duas se igualam é f = σ/(2πε), a pergunta do exercício 2.8. O exercício 2.9 pede só o pico de ∂D/∂t: εωE₀. Exemplo 3.11.3 (p. 113 e 114): uma carga posta dentro de um condutor obedece ∂ρ/∂t + (σ/ε)ρ = 0 e decai como ρ₀e^(−t/T), com T = ε/σ; no cobre T ≈ 10⁻¹⁹ s, e a carga vai para a superfície instantaneamente; na mica, o livro cita cerca de 10 horas.
6. Potenciais: de onde vêm V e A
Seções 2.4.6 e 2.4.7 (p. 74 a 76). O potencial escalar existe porque rot(grad V) = 0 casa com rot E = 0 do caso estático; o potencial vetor existe porque div(rot A) = 0 casa com div B = 0. A equação de Poisson (2.26) é o que o M19 resolve nas três geometrias.
M17. Montando a integral: catálogo de geometrias complementar, exercícios 3.1 a 3.19
O padrão que os exercícios de superposição repetem: escolher o elemento dq nas coordenadas certas (o dl, dS ou dv do M0), escrever o vetor do elemento até P e a distância, ver qual componente sobrevive por simetria, e integrar com os limites da figura. Cada geometria abaixo vem de um exercício do livro. O valor numérico é calculado somando os elementos, para conferir a integral. Com uma carga de prova q' em P, a força é F = q'E (Eq. 3.4, seção 3.2.2).
1. Elemento de carga nas coordenadas certas
2. Vetor até P, distância e a componente que sobrevive
3. A integral montada, com os limites da figura
4. Conferência numérica
Numérico: soma dos elementos desenhados. Fórmula: a expressão do cartão 3. Os dois têm de bater; a diferença é o erro da discretização.
M18. Dielétricos combinados e ruptura complementar, exercícios 3.20 a 3.36
A mesma receita de capacitância (±Q, campo entre os condutores, U pela integral, C = Q/U) quando o espaço entre os condutores tem mais de um material. Duas regras, que vêm das condições de interface do M5:
- camadas atravessadas pelo campo estão em série: mesmo D, os E diferem, as tensões somam;
- regiões lado a lado estão em paralelo: mesmo E, as cargas somam.
Depois, a pergunta de prova: com a tensão aplicada, algum material rompe?
1. A regra: série ou paralelo, e por quê
2. Campo em cada região
3. Capacitância
4. Ruptura: o campo passa da rigidez?
5. Energia armazenada
M19. Laplace e Poisson: placas, cilindro, esfera e o plano rn cos nθ complementar, seção 3.10 e exercícios 3.22, 3.40 a 3.43
O caminho inverso do resto do app: em vez de partir da carga para chegar ao campo, parte-se dos potenciais impostos nos condutores (as condições de contorno) e resolve-se a equação de Laplace, ou a de Poisson quando há carga no meio. A receita é sempre a mesma: escrever o laplaciano no sistema de coordenadas certo (os operadores do M1), reduzir a uma variável pela simetria, integrar duas vezes, achar as constantes com as condições de contorno, e então E = −grad V. As cargas nos condutores saem do M5, e a capacitância fecha a ligação com o M7, o M9 e o M14.
Potencial V
Campo E = −grad V
1. A equação no sistema de coordenadas
2. Solução geral e condições de contorno
3. Campo, cargas nos condutores e capacitância
M20. Fluxo, divergência, circulação e rotacional complementar, seções 1.5 e 1.6 do livro
Os dois teoremas que sustentam tudo o que vem depois: o da divergência (fluxo por uma superfície fechada = integral do divergente no volume) e o de Stokes (circulação numa linha fechada = fluxo do rotacional pela superfície apoiada nela). Escolha um campo de vetores, uma esfera S(V) e uma espira L(S), e veja os dois lados de cada teorema calculados: o numérico soma A·ds sobre a esfera e A·dl sobre a espira; o analítico integra div A e rot A. Os campos são os exemplos do livro: radial (Fig. 1.8), tangencial (Fig. 1.10 e 1.15), e a soma dos dois (Fig. 1.18).
1. Fluxo e o teorema da divergência
Livro, 1.5.1 e 1.5.2 (p. 22 a 25). O fluxo por ds é o produto escalar A·ds: máximo quando A é perpendicular à superfície, nulo quando é paralelo. Numa superfície fechada, n̂ aponta sempre para fora. O teorema sai somando os fluxos das seis faces de um paralelepípedo dx dy dz: cada par de faces opostas deixa uma derivada parcial, e a soma das três é o divergente. Fluxo conservativo (1.5.3): num tubo de fluxo o que entra é o que sai, e então div A = 0.
2. Circulação e o teorema de Stokes
Livro, 1.6.1 e 1.6.2 (p. 27 a 31). Se A = grad U, a circulação entre P e Q é só UQ − UP: num caminho fechado dá zero, e daí rot(grad U) = 0. O teorema de Stokes sai somando as circulações nos quatro lados de um retângulo dx dy: sobra (∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y) dx dy, a componente z do rotacional vezes a área.
3. Este campo: os dois teoremas conferidos
Numérico: soma de A·ds em 24 × 48 retalhos da esfera e de A·dl em 360 trechos da espira. Analítico: a integral de div A no volume e de rot A no disco. As duas colunas têm de bater; a diferença é a discretização.
4. Operadores de segunda ordem
Livro, 1.7 (p. 34): as combinações possíveis são div grad U, rot grad U, grad div A, div rot A e rot rot A. Duas delas são sempre zero, e é delas que vêm os potenciais do M15: rot grad = 0 permite E = −grad V, e div rot = 0 permite B = rot A. A primeira, div grad, é o laplaciano das equações de Laplace e Poisson do M19.
M21. Rigidez dielétrica, efeito de pontas e corona complementar, seções 3.6 a 3.8, exemplos 3.11.5, 3.11.6 e 3.11.9, exercício 3.23
A pergunta prática de todo projeto de alta tensão: onde o campo é mais intenso, e ele passa da rigidez K do meio? A rigidez é definida como a tensão máxima que um isolante suporta por unidade de comprimento (K = Vc/l, Eq. 3.20). O campo mais intenso aparece no menor vão e na ponta mais aguda: numa ponta, E é inversamente proporcional ao raio (Eq. 3.22). Passando do limite, o ar em volta ioniza e vira condutor: é o efeito corona, e no extremo, o arco e o raio.
1. Rigidez dielétrica
Seção 3.6 (p. 97 a 99): com uma parte aterrada e outra em Va, os campos valem Va/l1 e Va/l2; como l1 > l2, o campo mais intenso está no vão menor, e é ele que não pode exceder a rigidez do meio. K tem unidade de campo elétrico. Um campo excessivo é nocivo para o equipamento e para quem está perto. Para o ar, 3 × 10⁶ V/m (p. 101), variando com pressão, temperatura e umidade.
2. Esta situação
3. Efeito de pontas: E é inversamente proporcional ao raio
Seção 3.7 (p. 99 e 100): as duas pontas são semiesferas de raios ra e rb na mesma peça condutora, logo no mesmo potencial. Igualando os potenciais das duas esferas hipotéticas (Eq. 3.11), as cargas ficam na razão dos raios (3.21); as densidades superficiais ficam na razão inversa (3.22); e como ε0E = ρs na superfície de um condutor (Eq. 3.18, M5), o campo também: a ponta mais aguda concentra campo.
4. Corona, raio e para-raios
Seção 3.8 (p. 101): as cargas na ponta atraem cargas de sinal contrário das moléculas do ar, formam-se íons acelerados na direção da ponta, colisões produzem mais íons e elétrons (avalanche iônica), e o ar perto da ponta vira condutor. Há perda de energia, luz e ruído. O corona pode se expandir em arcos para outras partes do equipamento.
Exemplo 3.11.5 (p. 118 a 120): entre a ionosfera e o solo há cerca de 300 kV; o campo no solo é de uns 100 V/m, não os 10 V/m que 300 kV / 30 km sugerem, porque a ionosfera é condutora e o ar perto do solo é isolante: o campo cai com a altura (65 V/m a 1 km, 25 V/m a 2 km, 0,3 V/m na ionosfera). Uma nuvem pode criar até 100 MV contra o solo a 2000 m; com a rigidez do ar reduzida pela chuva, vem o raio, que procura os pontos mais altos, onde o efeito de pontas ioniza o ar. O para-raios de altura h protege, em boa aproximação, a zona de raio a = h em torno dele (Fig. 3.27).
M22. Desvio lateral numa lâmina e lâminas anisotrópicas complementar, exercícios 3.24 e 3.25
Duas consequências das condições de interface do M5 e da refração do M6:
- um campo que atravessa uma lâmina de outro material sai paralelo a como entrou, mas deslocado: é o desvio lateral;
- um empilhamento de lâminas finas de dois dielétricos isotrópicos se comporta, como conjunto, como um material anisotrópico: a permissividade efetiva ao longo das lâminas é diferente da permissividade através delas.
1. As duas regras de interface (M5) e a refração (M6)
Sem carga livre na interface, a componente tangencial de E e a componente normal de D não mudam ao cruzar a fronteira. Daí a lei de refração das linhas de campo, com os ângulos medidos a partir da normal.
2. Esta situação
Exercícios do livro índice
Uma linha por exercício, com o enunciado em uma frase e o botão que abre o módulo já no caso certo. Onde o enunciado traz números, os sliders já vêm com eles. Esta tela não guarda resolução nem fórmula: isso continua dentro do módulo, e a conferência fica com o livro e com a resolução do monitor.
O que não está nesta lista
Do capítulo 3 estão os 44 exercícios. Do capítulo 2 estão os sete que têm lugar no app. Os outros treze do capítulo 2 são demonstrações algébricas (2.1, 2.3 a 2.7, 2.16, 2.17 e 2.19) ou problemas de onda e magnetostática (2.10 a 2.12 e 2.15), sem geometria para desenhar. O capítulo 1 não tem lista de exercícios no livro.
A resolução do monitor é o arquivo "Eletromag soluções.pdf", de Thiago Oliveira Rodrigues Almeida, monitor da disciplina em 2024, e cobre o capítulo 3 e as provas antigas. Ela não tem o capítulo 2.
Prática: quatro decisões antes da resposta
O app sorteia uma fonte e você decide, uma coisa por vez:
- a simetria;
- se a lei de Gauss resolve;
- qual superfície fechada usar;
- qual a carga envolvida.
Nada de solução na tela antes da sua escolha. Errar não bloqueia: o app mostra a consequência geométrica do erro e segue. Só no fim ele leva você à resolução completa, no módulo que já a tem. Os erros ficam registrados por tipo, e você pode repetir só eles.
Seus erros, por tipo
Resolução
A resolução completa, com a simetria, a lei de Gauss, a carga envolvida e o potencial, está no módulo que já trata esta fonte. O botão abre o módulo já no caso certo.